Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом. В этом параграфе мы рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член тождественно равен нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля .
Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.
Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.
1 . Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной, для краевых условий получим:
. (19.64)
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:
(19.65)
а уравнение Навье-Стокса
. (19.66)
Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляющая скорости. Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от координаты. В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что =0, то есть не зависит также и от координаты x . Значит, . При этих условиях очевидно, что
. (19.67)
Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая, и что в течении Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p = p (z ), получим
. (19.68)
Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости, которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон
Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64): . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:
, (19.69)
представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости везде одинаково и равно по величине
(19.70)
причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу, где – площадь поверхности пластины.
2 . Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:
. (19.71)
И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим условие. Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-Стокса на оси X и Z , получим
. (19.72)
Из первого уравнения получаем. Подставляя его во второе уравнение, получим
(19.73)
левая часть которой зависит только от X , а правая – от z . Это возможно, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь условием (19.71), получим
(19.74)
где. Интегрирование уравнения (19.73) по z даст
. (19.74)
Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»
. (19.75)
Определив постоянные B , C и подставив их в (19.74), получим:
. (19.76)
Рис.19.14
Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно.
3 . Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось, а с основанием связать координатную плоскость (рис. 19.15). Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:
. (19.77)
Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую. Благодаря осевой симметрии течения, величины будут независимы от координаты (в этой задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что не может зависеть также от:
. (19.78)
В этом случае
С учетом последних, составляющие и уравнения Навье-Стокса дадут
. (19.79)
Из первого уравнения следует, что, а левая и правая части второго уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине. Из условия (19.77) определим
рис.19.15
Подставляя это в (19.79) и интегрируя по, получим:
Из конечности скорости на оси следует, что, а определяется из краевого условия скорости:
(19.80)
где – радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим
(19.81)
в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:
Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет
(19.82)
то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.
Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно
и направлено вдоль течения.
Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях вязкости.
Постановка задачи
Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:
- v - скорость жидкости вдоль трубопровода, м/с;
- r - расстояние от оси трубопровода, м;
- p 1 − p
- l - длина трубы, м.
Так как такой же профиль (в соответствующих обозначениях) имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями, то такое течение также называют течением Пуазёйля.
Закон Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля)
Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Гагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубе круглого сечения.
Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (англ.) (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году . Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра трубы:
- Q - расход жидкости в трубопроводе, м³/с;
- d - диаметр трубопровода, м;
- r - радиус трубопровода, м;
- p 1 − p 2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы, Па;
- μ - вязкость жидкости, Н·с/м²;
- l - длина трубы, м.
Закон Пуазёйля примени́м только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития ламинарного течения в трубке.
Свойства
- Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
- В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.
См. также
- Течение Куэтта
- Течение Куэтта - Тейлора
Литература
- Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Течение Пуазейля" в других словарях:
Параболическое распределение скорости при течении Пуазейля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая завихрённость. Течение Пуазёйля ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между… … Википедия
Механика сплошных сред … Википедия
Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия
Тече́ние Пуазёйля - ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля - одно из самых простых точных решений уравнений Навье - Стокса . Описывается законом Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля).
Постановка задачи
Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),
- Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): v - скорость жидкости вдоль трубопровода; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): r - расстояние от оси трубопровода; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): R - радиус трубопровода; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): p_1-p_2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta - вязкость жидкости; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): L - длина трубы.
Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.
Закон Пуазёйля (Гагена - Пуазёйля)
Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Хагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения.
Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году на основе экспериментальных данных и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году (также на основании эксперимента). Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},
- Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): Q - расход жидкости в трубопроводе; - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): D - диаметр трубопровода;
Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития в трубке ламинарного течения с параболическим профилем скорости.
Свойства
- Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
- В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.
См. также
Напишите отзыв о статье "Течение Пуазёйля"
Литература
- Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.
Ссылки
Отрывок, характеризующий Течение Пуазёйля
– Мы недавно... Он всё время приносит новых людей, а иногда и маленьких зверей, и потом они пропадают, а он приносит новых.Я с ужасом посмотрела на Стеллу:
– Это самый настоящий, реальный мир, и совершенно реальная опасность!.. Это уже не та невинная красота, которую мы создавали!.. Что будем делать?
– Уходить. – Опять упорно повторила малышка.
– Мы ведь можем попробовать, правда? Да и бабушка нас не оставит, если уж будет по-настоящему опасно. Видимо пока мы ещё можем выбраться сами, если она не приходит. Ты не беспокойся, она нас не бросит.
Мне бы её уверенность!.. Хотя обычно я была далеко не из пугливых, но эта ситуация заставляла меня очень сильно нервничать, так как здесь находились не только мы, но и те, за кем мы пришли в эту жуть. А как из данного кошмара выкарабкиваться – я, к сожалению, не знала.
– Здесь нету времени, но он приходит обычно через одинаковый промежуток, примерно как были сутки на земле. – Вдруг ответил на мои мысли мальчик.
– А сегодня уже был? – явно обрадованная, спросила Стелла.
Мальчонка кивнул.
– Ну что – пошли? – она внимательно смотрела на меня и я поняла, что она просит «надеть» на них мою «защиту».
Стелла первая высунула свою рыжую головку наружу...
– Никого! – обрадовалась она. – Ух ты, какой же это ужас!..
Я, конечно, не вытерпела и полезла за ней. Там и правда был настоящий «ночной кошмар»!.. Рядом с нашим странным «местом заточения», совершенно непонятным способом, повешенные «пучками» вниз головой, висели человеческие сущности... Они были подвешены за ноги, и создавали как бы перевёрнутый букет.
Мы подошли ближе – ни один из людей не показывал признаков жизни...
– Они же полностью «откачаны»! – ужаснулась Стелла. – У них не осталось даже капельки жизненной силы!.. Всё, давайте удирать!!!
Мы понеслись, что было сил, куда-то в сторону, абсолютно не зная – куда бежим, просто подальше бы от всей этой, замораживающей кровь, жути... Даже не думая о том, что можем снова вляпаться в такую же, или же ещё худшую, жуть...
Вдруг резко потемнело. Иссиня-чёрные тучи неслись по небу, будто гонимые сильным ветром, хотя никакого ветра пока что не было. В недрах чёрных облаков полыхали ослепительные молнии, красным заревом полыхали вершины гор... Иногда набухшие тучи распарывало о злые вершины и из них водопадом лилась тёмно-бурая вода. Вся эта страшная картинка напоминала, самый жуткий из жутких, ночной кошмар....
– Папочка, родимый, мне так страшно! – тоненько взвизгивал, позабыв свою былую воинственность, мальчонка.
Вдруг одна из туч «порвалась», и из неё полыхнул ослепительно яркий свет. А в этом свете, в сверкающем коконе, приближалась фигурка очень худого юноши, с острым, как лезвие ножа, лицом. Вокруг него всё сияло и светилось, от этого света чёрные тучи «плавились», превращаясь в грязные, чёрные лоскутки.
– Вот это да! – радостно закричала Стелла. – Как же у него это получается?!.
– Ты его знаешь? – несказанно удивилась я, но Стелла отрицательно покачала головкой.
Юноша опустился рядом с нами на землю и ласково улыбнувшись спросил:
– Почему вы здесь? Это не ваше место.
– Мы знаем, мы как раз пытались выбраться на верх! – уже во всю щебетала радостная Стелла. – А ты поможешь нам вернуться наверх?.. Нам обязательно надо быстрее вернуться домой! А то нас там бабушки ждут, и вот их тоже ждут, но другие.
Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что - функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:
При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу
длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим
Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого
где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.
Касательное напряжение на стенке трубы равно
так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна
Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением
Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна
В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и
Идеа́льная жи́дкость - в гидродинамике - воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.
Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемыхгидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.
Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.
Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:
где Q - объемная скорость жидкости (м 3 /с), (P 1 - P 2) - различие давления через концы трубки (Па ), r - внутренний радиус трубки (м ),l - длина трубки (м ), η - вязкость жидкости (Па с ).
Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P 1 - P 2 в начале и конце трубки. Если P 1 равняется P 2 , поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.
Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R , которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:
Течение Пуазейля - ламинарное течение жидкости через тонкие цилиндрические трубки. Описывается законом Пуазейля.
Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:
Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:
Закон установившегося течения в вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения. Сформулирован впервые Готтфильхом Хагеном в 1839 и вскоре повторно выведен Ж.Л. Пуазейлем в 1840. Согласно закону, секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки. Закон Пуазейля применим только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка необходимую для развития ламинарного течения в трубке.
Свойства течения Пуазейля:
Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.
Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости.
Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).
Гидравлическое сопротивление
в трубопроводах (a.
hydraulic resistance; н.
hydraulischer Widerstand; ф.
resistance hydraulique; и.
perdida de presion por rozamiento) - сопротивление движению жидкостей (и газов), оказываемое трубопроводом. Г. с. на участке трубопровода оценивается величиной "потерянного" давления ∆p, представляющего собой ту часть удельной энергии потока, к-рая необратимо расходуется на работу сил сопротивления. При установившемся течении жидкости (газа) в трубопроводе круглого сечения ∆p (н/м 2) определяется по формуле
где λ - коэфф. гидравлич. сопротивления трубопровода; u - ср. по сечению скорость потока, м/с; D - внутр. диаметр трубопровода, м; L - длина трубопровода, м; ρ - плотностьжидкости, кг/м 3 .
Местные Г. с. оцениваются по формуле
где ξ - коэфф. местного сопротивления.
В процессе эксплуатации магистральных трубопроводов Г. с. возрастает вследствиеотложения парафина (нефтепроводы), скоплений воды, конденсата или образования гидратов углеводородных газов (газопроводы). Для снижения Г. с. производят периодич. очистку внутр. полости трубопроводов спец. скребками или разделителями
В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силойлобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькимичислами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкойжидкости, решая уравнение Навье - Стокса:
· g - ускорение свободного падения (м/с²),
· ρ p - плотность частиц (кг/м³),
· ρ f - плотность жидкости (кг/м³),
· - динамическая вязкость жидкости (Па с).